Думаю, как и у нас, все зависит от контекста, от собеседника. По моему, самое нейтральное и правильное будет rat owner - владелец крыс. Keeper - переводится как хранитель, держатель, относится скорее к "содержанию" животных, чем к "владению", возможно, тоже может использоваться, как основное слово. Breeder - это точно заводчик. Handler - тот кто "обращается", "управляется" с животным, дрессировщик. Carer - тот, кто заботится, ухаживает.
То есть, формально ты rat owner. И ты же еще и mom, keeper, handler, carer, в зависимости от того, какую функцию ты хочешь сейчас подчеркнуть.
Интересно будет послушать Беллу, права ли я тут.