В холодное время не стоит таскать крысу за пазухой. Нужна переноска, упакованная в сумку. Чтобы было тепло, но достаточно воздуха и крыса не перегрелась.
А что касается самой проблемы - если крыса простудилась, ее надо лечить. Сама у крыс простуда не проходит. Было бы неплохо, чтобы ваш врач назначил какое-то лечение. Ну а если что, умные люди вам потом скажут, насколько оно адекватно