Маловероятно, но возможно. Диагностирует ратолог аллергию - назначит комплексное лечение соответствующее, но опять же не сосудосуживающий препарат.
На какой подстилке живет крыс? Спреи какие-то используете в помещении, где он находится (парфюм, лаки д/волос, освежители воздуха...)? Ремонт (краски-лаки).... Что-то, что могло бы спровоцировать аллергию, не появлялось в то время, когда начались проблемы с дыханием (комнатные растения, к примеру)? Проанализируйте всё.