Реально. Но сложно и требует основательных денежных затрат.
Требуется выяснить условия ввоза в страну прибытия, собрать все документы по списку, перевести на язык страны ввоза, заверить перевод, выяснить условия вывоза из РФ (и если собака, например, призер каких-нибудь выставок - это убер аллес), собрать все документы на вывоз, поругаться с таможенниками... в общем, очень много проблем.
А так да, у меня народ в ту же Финляндию с собаками-кошками-домочадцами переезжал.