Итог общения: БЕЗ ВАРИАНТОВ, мама должна пересечь границу
, такова особенность туристической визы - она не продлевается НИКАК и процитированный закон ее не касается.
Ну не совсем уж НИКАК. При наличии серьезных оснований (например, требуется лечение) может быть продлена до 10 дней - по месту регистрации в УФМС. Так же признаются "обстоятельств гуманитарного характера (необходимость экстренного лечения, ... )" - тут в вообще срок продления не написан. Так пишут на сайте ФМС:
http://www.fms.gov.ru/useful/formvisa/. Кстати, на этом же сайте есть "Запись на онлайн-прием" (сам прием ведется по Skype) - может попробовать?

. Также можно попробовать сходить в Новосибирское УФМС - в Росии очень часто все зависит не от содержания закона, а от конкретного чиновника, с которым общаешься.
НО: затык в том, что для закрытия турвизы и открытия гостевой нужно пересекать границу с Литвой. ФИЗИЧЕСКИ.
Опять не совсем точно. Любая виза дает право пересечь границу (как минимум) 2 раза: въехать и выехать. Куда выехать - не важно, т.е. не обязательно в Литву. Другой вопрос - чтобы потом опять въехать, снова нужна будет виза. И сделать ее можно будет а) в Литве (в консульстве РФ); б) в любом другом представительстве МИД РФ (т.е. в любой стране), где гражданина Литвы не пошлют.
Кстати, еще можно попробовать обратиться (позвонить?) в Консульство Литвы в Иркутске - вроде там есть такое. Мама же гражданка Литвы, следовательно ее права должны ими учитываться.