Как собачья клетка, так и шлейка- не выход. В этих клетках расстояние между прутьями 3-5см- если крыса кошку не боится, то спокойно к ней войдет. Из шлеек многие кошки умеют выворачиваться. Держать кошку в переноске во время крысиных прогулок тоже не айс: крысе нужно гулять часа два- это издевательство над кошкой!
Я вижу единственный выход- сделать для дверного проема загородку, которая бы распиралась между косяками. Делается рама из реек, внизу прибивается лист двп шириной 20-30см, в оставшем свободном пространстве растягивается москитка или защитная кошачья сеть. Делается это без особых трудностей и позволяет в любой момент загородить дверной проем, когда приспичит выгулять крысу /разумеется, это не 100%-ная защита, поэтому весьма желательо находиться кому-нибудь из членов семьи в одной комнате с крысой/.