Конечно, лучше к врачу! Я хотела обратить внимание на то, что обычно с а/б назначают какие-то восстанавливающие препараты. Просто, пока не сходили - можно предпринять кое-какие шаги, например, как посоветовал nerjaveikin. У крыс быстрый обмен в-в, м. б. к тому времени всё пройдёт.
По морозу везти не страшно - закутайте переноску в плед, одеяло, старое пальто, - не забудьте, что всё это в процессе поездки затянут в переноску и съедят.

Если тряпку жалко, переноску сначала оберните картоном, потом теплой тканью. В переноску, конечно, тоже какую-нибудь тёплую ткань, туалетную бумагу, бумажные полотенца (я обычно кладу всё перечисленное). Крысы обычно сами разбираются, как им ехать В тряпках или РЯДОМ с ними. Главное не перегрейте от усердия!